非凡孕育代孕费用-组合构造第1章:容易求值4

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【附】为便于有需要者编辑修改,特提供纯文本文档如下:


例6、给定自然数n,设X={1,2,3,…,n},A1,A2,…,Ar是X的r 个互不相交的三元子集,使得


S≤n,


S≠S,


其中S表示A中所有元素的和,求r的最大值。


分析与解:由划分的意义,有|Ai|=3r。


又各A i互不相交,所以S=S≥1+2+…+3r。


由条件和,有 S≤n++…+,


所以1+2+…+3r≤n++…+,解得r≤。


注意到 r∈N,所以r≤[]。


若r=[],我们可构造合乎条件的r个三元子集。为了满足条件:S≤n,应取尽可能小的元素属于Ai,尝试令Ai={1,2,…,3r}进行构造。为了满足条件:


S≠S,从容易计算的角度考虑,可想象{ S}是公差为1的等差数列。这样,我们只需先将1,2,…,2r分为r个集合,使其和相等,这利用“大小搭配”是很易作到的。最后将2r+1,2r+2,2r+3,…,3r分配到每个集合中,每个集合中分配一个元素即可。比如,令Ai={i,2r+i,2r–i+1},则各个集合的和不相等,且最大的和为5r+1≤+1=n。


故r的最大值为[]。




例7、求证:对任何0<a<b,存在正整数k及n1,n2,…,nk,使a<++…+<b。


分析与解: 首先,为了使++…+易于估计,注意到级数是发散,想到寻找连续的自然数n,n+1,n+2,…,n+k,使不等式成立。由的发散性,可先找到k,使>a成立。为了使不等式右端也成立,应使尽可能小,于是取k是满足>a的最小的k,即>a,而≤a。这样, a<=+≤a+。


我们期望 a+<b,一个充分条件是a+<b,即 n>。


但a<≤,所以n>。


综上可知,取n>max{, },不等式获证。


注: 取a=33–π–1959,b=33–π–1992,则得到33备选题:存在自然数k及互异的自然数:n1,n2,…,nk,使π–1992<33–<π–1959。由本题可知,题中的常数33,π–1992,π–1959都是"蒙人"的。


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